偏差値についての出し方、受験への参考の仕方

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大学受験、高校受験、中学受験、日本の受験には偏差値が参考指標として重宝されています。
なぜ偏差値がここまで重宝されるのか？また大学、高校、中学で使う偏差値はそれぞれの意味があり、例えば中学受験の偏差値と 高校受験の偏差値は同じ数字でも価値が異なります。正しく偏差値を捉えて各受験に備えていきましょう！

偏差値とは、ある数値が母集団の中でどれくらいの位置にいるかを表した無次元数です。
偏差値は統計学で使われるものなので定義すると数学に詳しくないと大変難しい感じがしますが、 かんたんに言うと対象となるものが全体のどのくらいの位置にいるのか？という指標です。

正規分布

私はクラス成績では10番目くらい、部活の持久走では5番目くらいなど。偏差値を使えばある集団の中で相対的に比べることがかんたんにできます。 例えば偏差値60以上（あるいは40以下）は、全体の15.866％の存在といった感じです。
ただし、注意しなければならないのが偏差値がうまく利用するには、母集団の数値の分布が正規分布に近い状態の時でです。
このような状態の時は偏差値の利用価値が高いですが、そうでない場合はあまり意味のある数字にはなりません。
かんたんにいえば、例えば10人がテストをうけて8人が100点で2人が0点といったものだとよくりありません。
正規分布はその平均値を境として前後同じ程度にばらついている状態なので先ほどの例だと平均値が80になり、80点の人は一人もいません。このデータを利用した偏差値はあまり意味がありません。
ただし、自然界や人間社会の事象などは、母集団が大きければ正規分布に近づくものが多いとされています。例えば身長や体重、試験の点数などは正規分布の代表例です。

標準偏差

また偏差値を説明する上で外せないのが「標準偏差」です。標準偏差はデータの分布の広がり幅 (ばらつき)を表します。
標準偏差が大きいほど、データのバラツキが大きいということになります。

例えば、二つのサッカーチームの1試合づつの得点でみていきましょう。

	1試合目	2試合目	3試合目	4試合目	5試合目	6試合目	7試合目	8試合目	9試合目	10試合目
チームA	5	6	4	3	2	5	4	3	5	4
チームB	9	2	10	3	1	4	2	7	2	1

どちらのチームも、平均得点はは4.1で同じですが、これを標準偏差で表すと、 Aチームが1.2、Bチームが3.3になり、Bチームの方がばらつきが大きいことがわかります。
個々のデータXと、平均Yとの差（X-Y）の2乗の総和を分散といいます。標準偏差は、分散の平方根で表すことができます。
このバラツキをわかりやすく例えると、バラツキが大きいほどその数字の信用度(リスク)が減ると考えられます。
例えばこの両チームが次の試合で平均得点3点のチームと対戦した場合にした場合を考えて見ましょう。
AチームBチームとも平均得点4.1なので両者とも勝てると思いますが、Bチームは標準偏差が大きいので、 同じ平均得点でも確率的に1試合で4.1点を取る信用度は減り、Aチームの方が勝つ確率が高いと判断できます。
※説明のため相手実力や戦略などはなしと考えています。
かんたんに説明すると標準偏差はその数値の信用度ということになります。

日本でいう偏差値

本来偏差値は上記で説明した通り統計学の一部ですが、日本においては一般的に「学力偏差値」のことを指すことが多いです。
学力偏差値は統計学を応用した日本独自の偏差値です。学力偏差値は、中学受験、高校受験、大学受験のものさしとなっており、日本人で偏差値という言葉をしらない人はいないでしょう。
偏差値は、ある標本が母集団の中でどれくらいの位置にいるかを表す指標であるので、個々の試験の難易度の違いに左右されずに、 生徒の学力、学習進度、受験における合格可能性を判定するために利用されます。

日本の偏差値は平均点を50、標準偏差を10に対応させた偏差値が基準となっています。
これは本来の偏差値の出し方だと、問題の難易度や平均点よって標準偏差が異なるため、数値のばらつきが大きく、ものさしとしての役割が果たせないためです。 平均点を50、標準偏差を10となるスコアに変換することによって比較できる数値となっています。

例えば偏差値50は全体の真ん中の数字になり、偏差値60はトップから15.8％の位置、偏差値40はびりから15.8％の位置となります。
詳しくは下記の図を参考にしてください。